@NotWegant (Sorry for my English).
When you make a GET request in the response, you will have cookies for this URL. Then you will save them. Is this option not working?
Послать post запрос через http клиент с твоими куками из браузера и с headers которые тебе решалка дала, потом после запроса смотришь на какую страницу был переход, берешь куки с хттп клиента и переходишь на следующий url.