@High-Level и @kavo спасибо за подсказки. Вроде справился с Authorization: SAPISIDHASH
В итоге у меня получается, что Authorization: SAPISIDHASH 5af9ca3bc0ca2fc23021551098dc613235a58742 хэшируется (sha1) из значений $sapisid_cookie и $URL, и оно меняется только при изменений этих данных(параметр $time в него не включен ), а второе Authorization: SAPISIDHASH 1685699777_38dc2bf80f96b8045f3992667f19ecaa894ad53b состоит из $time_$auth_hash, где $auth_hash, это хэш из $time,$sapisid_cookie и $URL. Параметр $time в хеше и в значении до нижнего подчеркивания один и тот же. Соответсвенно, итоговый Authorization: SAPISIDHASH меняется каждый раз в связи с изменением времени. Реализовал получение этих обоих параметров в один код. В результате Authorization: SAPISIDHASH 5af9ca3bc0ca2fc23021551098dc613235a58742 отрабатывается на отлично. SAPISIDHASH 1685699777_38dc2bf80f96b8045f3992667f19ecaa894ad53b еще не проверял, так как с ним в запросе всегда находится X-Goog-Api-Key, который еще не раскурил. Вроде как все ок!
Единственное, @kavo, посмотри пожалуйста на досуге, про заголовок X-Goog-Api-Key. Линк на сервис выше скинул. Еще раз всем спасибо!