На сколько я помню sitekey устанавливает владелец сайта (получает при подключении рекапчи), можете просто один раз скопировать его из запроса и статично использовать. Меняют его ну крайне редко
Спасибо @Fox, я даже не задумывался на счет того что SiteKey на сайте может быть всегда одинаковым)))
Как правило, sitekey всегда можно найти в коде страницы после запроса .
Проблема была в том что этот SiteKey хранился не в HTML, а в JS файле от гугла, и потому я не знал как его от туда достать + рекапча появлялась в HTML только после ввода данных, до этого её просто не существовала в коде (HTML)