The same way like you did it before, just load cookies and apply fingerprint, and eventually save as profile so your cookies and fingerprint would be saved for future use - next time you only need to load profile which will preserve fingerprint and cookies.
How Can We Mask System Timezone?
-

Получайте заранее местоположение ip с помощью сторонних сервисов если разные регионы у proxy и подставляйте нужное значение в ваш скрипт.
-
@elleevans Вам уже подсказали причины такого поведения BAS и решения. BAS не может определить местоположение proxy, просто определяете местоположение http-запросом на стороннем сервисе и устанавливаете принудительно часовой пояс отдельным кубиком. Если посмотрите код определения местоположения на сайте, то не будет лишних вопросов и сэкономите время, когда BAS определяет местоположение прокси, то правильно подменяет его, для указанного сайта.